A holdfogyatkozások és megfigyelésük
Az árnyékok általában elrejtik a dolgokat. De fel is fedhetik számunkra a természet rejtélyeit. A holdfogyatkozások során a Hold világos korongja sötét árnyékba merül. Mint egy szellemet a lámpa fénye, a Holdat elnyeli a láthatatlan: a Föld árnyéka.
Az ókori görög csillagász, Hipparkhosz a holdfogyatkozások segítségével határozta meg a Hold méretét és távolságát. De módszerének alkalmazásához feltételezésekkel kell élnünk a Hold, a Nap és a Föld egymáshoz viszonyított távolságáról. Ha Hipparchos ismerte volna a teniszt, talán sokkal közvetlenebb módon mérhette volna meg a Hold távolságát és átmérőjét, - úgy ahogy mindnyájan képesek vagyunk erre egy teljes holdfogyatkozás idején!
Mivel a Nap nem pontszerűnek látszik az égen, hanem korong alakúnak, a tárgyakat a Földön és a világűrben nem teljesen egy irányból világítja meg. Ezért az árnyékok széle elmosódott. Az árnyék sötét magját (ahová egyáltalán nem ér közvetlen napfény) umbrának - teljes árnyéknak hívjuk. Az umbrát a penumbra (félárnyék) veszi körül, amit a Nap korongjának egy része még megvilágít.
| Bármely gömbnek, amely ugyanakkora távolságra van a Naptól, ugyanolyan alakú árnyékkúpja van. Az egyes kúpok magasságának és alapkörének aránya megegyezik, akár a Hold, akár a Föld, akár egy teniszlabda veti az árnyékot. (Feltételezzük, hogy a Nap távolsága jóval nagyobb, mint az árnyékot vető gömbök helyzetének változása!) | |
Már az i.e. 4. században észrevette Arisztotelész, hogy egy gömb kúp alakú umbrát hoz létre. Mivel a Hold éppen csak elfedi a Napot egy teljes napfogyatkozás során, ezért a Föld felszíne a Hold teljes árnyék-kúpjának a csúcsánál (apex) helyezkedik el. Ennek a kúpnak a nyílásszöge pedig éppen 1/2°, a Hold látszó átmérője. A Föld árnyéka ugyanilyen alakú, csak arányosan nagyobb. Bármely gömb alakú égitestnek, amely a Földdel egyenlő távolságban van a Naptól, hasonló kúp alakú árnyéka van. Ennek alapján megmérve egy teniszlabda árnyékát, meghatározhatjuk a Föld árnyékának méretét, akár 5 %-os pontossággal, vagy még jobban.
Az umbra kúpjának mérése
Egy átlagos teniszlabda 6,6 cm átmérőjű, ezzel modellezzük a Földet. Vékony bőrből készült kérge van, bolyhos felülete némileg utánozza a földi légkör hatását.
| A teniszlabda árnyékának legnagyobb részét az umbra alkotja, körülötte keskeny penumbrával. Minél messzebb tartjuk a labdát a faltól, annál kisebb lesz az umbra. Amikor csak az árnyék csúcsa éri el a falat, az umbra eltűnik a penumbra szürkeségében. Ebben a helyzetben a labdának a faltól mért távolsága lehetővé teszi a Hold méretének és földtávolságának a meghatározását. |  |
Amikor a Nap alacsonyan van az égen, a teniszlabdát egy fal közelében tartva megfigyelhető, hogy árnyéka majdnem teljesen sötét, egy keskeny, szürke peremmel. Az árnyékot szinte teljes egészében az umbra alkotja, de amint a labdát elkezdjük távolítani a faltól, az umbra összezsugorodik, majd teljesen elvész a halványabb penumbrában. Ez akkor történik meg, amikor az umbra árnyékkúpjának a csúcsa éppen a falra kerül. Egy spárga segítségével könnyen megmérhetjük a távolságot a fal és a labda között, így meghatározhatjuk a gömb umbrájának a hosszát.
Egy másik módszer ennek a távolságnak a meghatározására, ha a teniszlabdával "napfogyatkozást" hozunk létre. Egy napfogyatkozás-szemüveggel védve szemünket, tartsuk úgy a teniszlabdát, hogy éppen eltakarja a Napot. A bolyhos perem hatása éppen demonstrálja a tudományos mérések hibalehetőségeit.
Mérjük meg a labda és a szemünk távolságát. Ennek hibája akár 25 % is lehet! A pontosság növelhető, ha nagyobb méretű gömböt használunk, de ekkor hosszú madzagra lesz szükségünk, és csak nagyon alacsony napállásnál végezhetjük a mérést.
Bármelyik módszert is használjuk (vagy akár mindkettőt), a legjobb, ha több mérést végzünk, és az eredményeket átlagoljuk. Jelöljük q-val az árnyék hosszának és a gömb átmérőjének az arányát:
q = az árnyék hossza / a gömb átmérője
Ez a hányados jellemzi az árnyékkúp alakját. Mint korábban említettük, ez az érték ugyanakkora a teniszlabdára, mint a Föld vagy a Hold árnyékára.
A fal távolságának mérésével úgy találtam, hogy a teniszlabda umbrája 762 cm körül van, a "napfogyatkozásos" módszer bizonytalanabbul 610 cm-t eredményezett. Az összes mérésem átlaga q = 104-nek adódott, ami nem rossz eredmény a Föld átlagos naptávolságából adódó q = 108-hoz viszonyítva.
Most a Föld átmérője alapján (amit már a régi görögök is viszonylag pontosan ismertek) megkapjuk az umbra valódi hosszát. Ez a valóságban 108 x 12742 km = 1376100 km körüli érték. Saját egyszerű mérésem alapján 104 x 12742 = 1325200 km.
A Hold távolsága és mérete
Ahogy a falon megjelent a teniszlabda árnyékának a keresztmetszete, egy holdfogyatkozás során a Hold éppen ugyanúgy kirajzolja számunkra a Föld árnyékának a keresztmetszetét. A Hold óránként 1/2°-kal, éppen az átmérőjének megfelelő értékkel mozdul el kelet felé a csillagos égbolthoz viszonyítva. Így ha bejelöljükaz árnyék helyzetét, amint elfedi a Hold felszínét, megmérhetjük az árnyék szögméretét. Erre két jó módszer is használható.
 |
A földárnyék mérete meghatározható, ha egy csillag segítségével az égbolt forgását követve ugyanarra a filmkockára többször is lefényképezzük a Holdat. Előtte ki kell próbálni a telehold fényképezéséhez szükséges expozíciós időt, mert az alulexponált képeken a földárnyék nagyobbnak, a túlexpontált képeken pedig kisebbnek tűnik. (Akira Fujii felvétele.) |
A fotografikus módszer lényege a fenti ábrán látható. Olyan expozíciós időt kell alkalmazni (ezt célszerű előre kipróbálni), hogy a felvételen láthassuk a Hold felszíni alakzatait.
 |
A földárnyék méretének meghatározására szolgáló másik módszer. Szabályos időközönként be kell rajzolni az árnyék határát a holdkorongra. Ha fél óránként készítjük el a rajzokat, akkor a Hold éppen az átmérőjének megfelelő értékkel mozdul el a csillagos háttérhez viszonyítva. Szerkesszünk kört az umbra határvonalához, majd határozzuk meg az átmérőjét a Hold átmérőjéhez viszonyítva. |
Szabad szemmel is elég ügyesen meghatározhatjuk az elmosódott vonalat az umbra és a penumbra között. Ráadásul az umbra méretének szemmel történő megmérése érdekes és kényelmes módja egy fogyatkozás megfigyelésének. Bármelyik módszert is alkalmazzuk, a fogyatkozás után össze tudjuk hasonlítani a Hold korongjának átmérőjét az umbra körének méretével. Az arány 1:2,67 körüli értéknek adódik. |
 |
A
Hold vázlatos térképe felhasználható a Föld |
Az 1992. június 14-15-i részleges holdfogyatkoás során elkészítettem az umbra peremét ábrázoló vázlatokat. Ezekhez kört illesztettem, melynek átmérője a holdkorong rajzának átmérőjénél 2,53-szor volt nagyobb. Mivel a Hold látszó átmérője 30', az umbra mérete 76'-nek adódott (1,27°).
De milyen messziről látszik ekkorának az umbra árnyéka, azaz milyen messze van a Hold? Először is vegyük észre, hogy az umbra átmérője csökkent, ahogy a Földtől távolodunk. Jelöljük f-fel a Hold távolságának és az árnyékkúpkúp hosszának (magasságának) az arányát, így:
az árnyék átmérője = 12742 km x (1 - f)
Az árnyék látszólagos szögátmérője (látószöge) nagyobb távolságból nézve kisebb lesz. Ez a D szög radiánban kifejezve egyenlő az árnyék átmérőjének és a Hold távolságának a hányadosával:
D = 12742 km x (1 - f) / (1376100 km x f)
De a 1376100 km / 12742 km éppen az a q hányados, amit korábban a teniszlabda segítségével megmértünk. Ha ezt beírjuk a fenti egyenletbe, és kifejezzük az f-et, akkor kapjuk, hogy:
f = 1 / ( D x q + 1 )
Az általam mért értéket használva D = 1,27° / 57,3 = 0,022 radián, a q pedig 104. Így az f = 0,304, vagyis a Hold 1325200 km x f = 402860 km távolságra van. A valódi érték az 1992. júniusi fogyatkozás idején 7700 km-rel volt kisebb, így a mérési hiba alig 2 %! Az árnyék átmérője is számítható: 12742 km x (1 - f) = 8868 km a Hold távolságában. Mivel megfigyeléseim alapján a Hold mérete az árnyék 1/2,53 = 39,5 %-a, átmérője 3503 km-nek adódik, ami a valódi értéknél csak 27 km-rel nagyobb!
Az eredmény pontosságát a mérési hibán kívül más hatások is befolyásolják. A Föld távolsága a Naptól a januári 147 és a júliusi 152 millió km közé esik. Így a Föld umbrájának hossza 1358000 km és 1404200 km között változik, ez 3,5 %-os eltérés. A Hold pályája is elliptikus, korongja 2'-cel nagyobb vagy kisebb lehet, mint az átlag. Ezt szabad szemmel nem nagyon lehet észrevenni, de hibát okoz a mérésben. Végül a Föld légköre mintegy 2 %-kal megnöveli az umbra méretét.
Ez az egyszerű kísérlet mégis meglepően pontos eredményekhez vezetett. A sötétség is fényt derít!
(Sky and Telescope, 1992. december)